Einführung
Die Fortschritte in den Bereichen der Weltraumphysik, der
Astronomie und auch der Astrophysik haben in den letzten Jahren in
zunehmendem Maße die Bedeutung magnetischer Felder in diesen
Bereichen gezeigt. Die elektromagnetische Wechselwirkung
gehört neben der Gravitation zu den beiden langreichweitigen
Kräften, die wir kennen, und ist damit in der Lage
großskalige Felder aufzubauen. Dies geschieht durch die
Konvektion ionisierter Materie, des sogenannten Plasmas, das mit
wenigen Ausnahmen überall im Universum vorliegt, wenn auch in
sehr verschiedenen Zuständen. Diese reichen von den extrem
heißen und dichten Plasmen der Sterne bis zu den stark
verdünnten, nur teilweise ionisierten Plasmen des
interstellaren Medium. Auf diesen großen,
astrophysikalischen, Skalen lassen sich Plasmen mit den in sie
eingebetteten Magnetfeldern sehr gut durch eine Fluid-Theorie, die
sogenannte Magnetohydrodynamik, beschreiben. In dieser, der
Hydrodynamik verwandten Theorie wird das Plasma als ein elektrisch
gut leitendes Fluid beschrieben, in dem durch die Strömung des
Plasmas magnetische Felder induziert werden können, die dann
umgekehrt wiederum durch Kräfte, die sogenannten
Lorentz-Kräfte, auf das Plasma rückwirken. Durch diese
Wechselwirkung zwischen Plasma und Magnetfeld kann eine
beeindruckende Vielfalt von Strukturen entstehen, die oft
Verknotungen oder Verknüpfungen des magnetischen Flusses
zeigen. In diesen komplexen Feldstrukturen können enorme
Mengen an Energie gespeichert werden. Es ist nun eine typische
Eigenschaft astrophysikalischer Plasmen, daß die Dynamik
dieser Strukturen aus einem Wechselspiel besteht von idealem
Verhalten, bei dem sich das Plasma nur unter Erhaltung aller
Verknüpfungen (Erhaltung der Topologie) bewegt und einer Art
Aufreißen der magnetischen Struktur, der sogenannten
magnetischen Rekonnexion. Bei der Rekonnexion bricht der
magnetische Fluß auf und verbindet sich neu
(``re-connects''), ein Prozeß, der oft von dramatischen
Eruptionen begleitet ist, und bei dem große Energiemengen
freigesetzt werden können. Solche Vorgänge lassen sich
sehr gut auf der Oberfäche unsere Sonne verfolgen, wie auch
die jüngsten, beeindruckenden Beobachtungen durch die
Satelliten Yohkoh und SOHO zeigen. Sie spielen aber auch eine
wichtige Rolle für die unmittelbare Umgebung der Erde. Zum
Beispiel spielen sich Rekonnexionsprozesse an der Magnetopause ab,
wo der Sonnenwind auf das Magnetfeld der Erde trifft, oder auch in
dem durch den Sonnenwind langestreckten Magnetschweif der Erde. In
beiden Fällen werden durch die von der Rekonnexion erzeugten
elektrischen Felder Teilchen beschleunigt, die wiederum in den
Polarregionen zu den Nordlichtern (Aurora) und sogenannten
geomagnetischen Stürmen führen. Auch für die
Dynamo-Theorie, welche sich mit der Erzeugung und Aufrechterhaltung
von Magnetfeldern in Planeten und Sternen befaßt, spielt die
Speicherung und Freisetzung magnetischer Energie in komplexen
Feldern eine wichtige Rolle. Selbst in der Astrophysik entfernterer
Objekte, wie z. B. Pulsaren, Galaxien, protogalaktischen Wolken,
verstärkt sich die Hinweise, daß Magnetfelder nach der
Gravitation den größten Einfluß auf die
Selbstorganisation der Materie haben. Nach einer anfänglich
sehr dynamischen Phase in der Erforschung und Modellierung dieser
magnethydrodynamischen Selbstorganisation von Plasmen, die mit
einfachen Modellen zunächst beeindruckende Erfolge erzielen
konnte, treten jetzt zunehmend schwierigere Probleme in den
Vordergrund. Insbesondere zeigen viele Beobachtungen eine enorme
Komplexität in der Struktur des Magnetfeldes, denen die
einfachen Modelle nicht mehr gerecht werden. Es ist daher unbedingt
notwendig einen theoretischen Rahmen zu haben, der die für
eine Analyse wesentlichen physikalischen Größen
bestimmt.
Eine Aufnahme der Sonne im Röntgenlicht zeigt
die komplexe Struktur der magnetischen Felder,
da das die Strahlung erzeugende Plasma eng an
die magnetischen Felder gebunden ist.
Eine größere Version des
Bildes zeigt mehr Details.
(Aufnahme des Soft-X-Ray Teleskops des
YOHKOH-Satelliten 1992)
Solch ein theoretischer Rahmen könnte sich aus der Nutzung
interessanter Parallelen zwischen den Strukturen von Magnetfeldern
und der mathematischen Knoten-Theorie, ergeben. In diesem sehr
schnell wachsenden Gebiet der Topologie sind sogenannte Invarianten
bekannt, die die Verknüpfung bzw. Verknotung von einzelnen
Linien beschreiben und daher ein Maß für die
Komplexität darstellen. Entsprechende Größen
für die Feldlinien von (divergenzfreien) Vektorfeldern
wären von größtem Interesse, um die komplexen
Strukturen magnetischer Felder zu beschreiben und zum Beispiel den
Energieinhalt einer verwickelten magnetischen Struktur zu
bestimmen. Ein Übertragung solcher Maße von isolierten
Linien auf Felder ist auch schon an einzelnen einfachen Fällen
gelungen, und es spricht viel dafür, daß dies mit
Methoden der Topologie und Differentialgeometrie auch für
komplexere Fälle möglich ist. In einem völlig neuen
Ansatz sollen nun diese topologischen Maße auf das
elektromagnetische Feld, also die physikalisch genauere
Berschreibung, welche das elektrische Feld mitberücksichtigt,
erweitert werden. Dies wird durch bestimmte Analogien in der
mathematischen Beschreibung nahegelegt und stellt einen
außergewöhnlichen, interessanten und neuen Zugang zum
Verständnis des elektromagnetischen Feldes dar.
Darüberhinaus ist es von großer Bedeutung die Dynamik
dieser komplexen Strukturen zu verstehen. Hier zeigt die oben
erwähnte Rekonnexion enge Parallelen zu einem Aufschneiden von
Verknüpfungen in der Knoten-Theorie. Dies spricht dafür,
daß auch die globale Dynamik magnetischer und
elektromagnetischer Felder mit Hilfe solcher Größen
charakterisiert werden kann.
Verschiedene Links zu (hoffentlich) allgemeinverständlichen Darstellungen des
weiteren Umfeldes.
Forschungsprojekte
- Entwicklung von Komplexitätsmaßen für
magnetische und allgemeiner elektromagnetische Felder
- Untersuchung der Beziehung diese Maße zu
Knoteninvarianten.
- Untersuchungen der Topologie magnetischer (elektromagnetischer)
Felder in Plasmen und ihre Dynamik, insbesondere in Hinblick auf
kritische Phänomene wie die magnetische Rekonnexion.
- Darstellung und Visualisierung elektromagnetischer Felder.
- Anwendung der Theorie auf astrophysikalische Plasmen,
insbesondere auf das Problem der Koronaheizung.
Resultate
Die folgenden Computer-Presentationen zeigen einige unserer Ergebnisse. Für eine genauere Darstellung verweisen wir auf unsere Publikationen .
- Topological methods in Fluid dynamics by G. Hornig (PDF)
- Processes at magnetic null points by V.S. Titov (PDF)
- Magnetic Connectivity by V.S. Titov (PDF)
- Topological invariants of higher order by C. Mayer (PDF)
- Linking in Four Dimensions by H.v. Bodecker (PDF)
- New solutions for reconnective magnetic annihilation with curvilinear geometry by E. Tassi (PDF)
- Non-ideal MHD Properties of Magnetic Flux Tubes in the Solar Photosphere by J. Kleimann (PDF)
- Magnetic Helicity under Reconnection by G. Hornig (PDF)
- Maximum information from magnetic helicity by G. Hornig (PDF)
Diplom- und Promotionsarbeiten
- Magnetische Kopplung zwischen Chromosphaere und Konvektionszone der Sonne Diploma Thesis by J. Kleimann (PDF 0.9MB, German)
- Zur Interpretation der Novikov-Invarianten in der Fluiddynamik Diploma Thesis by H. v. Bodecker (PDF 1MB, German)
- Topological link invariants of magnetic fields PhD-Thesis by Christoph Mayer (PDF 7MB)
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